矩阵决策法

　　矩阵决策法的基本要素

　　1。状态变量：指可能影响决策后果的各种客观外界情况或自然状态．是不可控因素，记为

$\mathbf{x_j(j=1,2,....,n),}$ 并设 $\mathbf{X=\mid x_1,x_2,....,x_n \mid}$

　　并设为所有自然状态的集合。

　　2。决策变量：指决策者所采取的各种行动方案，是可控因素。记为 $\mathbf{A_i(i=1,2,....,m)}$ ,并设 $\mathbf{A={A_1,A_2,....A_m}}$ ，并设为所有方案的集合。

　　3。概率：指各种自然状态出现的概率。记为： $\mathbf{P(x_j)}$ 且 $\mathbf{0\le P(x_j) \le1}$ , $\sum_{j=1}^n p(x_j=1)$ 　　其中可以是先验概率，也可以是后验概率。

　　4。损益值：在第j种自然状态下选取第种方案所得结果的损益值，记为: $\mathbf{V_{i,j}}$ 。

　　矩阵决策法的求解方法

　　由实际问题给出的条件列出矩阵决策表。一般情况下，是将上述四要素列表如表l

　　由表l所给的具体数据，利用期望公式 $\mathbf{E(A_i)=}$ $\sum_{j=1}^n V_{i,j}p(x_j)$

令 $B=\begin{bmatrix} V_11 & \cdots & V_1n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ V_m1 & \cdots & V_mn\end{bmatrix}$ , $P=\begin{Bmatrix} p(x_1) \\ p(x_2) \\ ... \\ p(x_n) \end{Bmatrix}$ , $E(A)=\begin{Bmatrix} E(A_1) \\ E(A_2) \\ ... \\ E(A_n) \end{Bmatrix}$ 。

　　则有 $E(A)=BP=\begin{bmatrix} V_11 & \cdots & V_1n \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ V_m1 & \cdots & V_mn\end{bmatrix}\begin{Bmatrix} p(x_1) \\ p(x_2) \\ ... \\ p(x_n) \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} \sum_{j=1}^n V_{1,j}p(x_j) \\ \sum_{j=1}^n V_{2,j}p(x_j) \\ ... \\ \sum_{j=1}^n V_{m,j}p(x_j) \end{Bmatrix}$

　利用最优期望准则公式 $E(A_1)=\max \mid E(A_1),E(A_2),......,E(A_m) \mid$ ，确定最优行动方案。

　　当我们利用公式（1）计算出各行动方案的期望值后，加以比较．再由决策目标要求选择期望值最大（或最小）的行动方案为最优方案。如果表1中的，是收益值．且决策目标使收益最大，则期望值最大的为最优行动方案；如果，决策目标是使损失最小，则选取期望值最小的为最优行动方案。

　　矩阵决策法的应用举例

　　某出租汽车公司在甲、乙、丙三处设立了-租车与还车处，顾客可以在甲、乙、丙任一处租车．也可在任一处还车。已知顾客在三处租车是等可能的．还车概率如表2所示．如果该公司想选择一处设立汽车保修厂．间设在何处比较适宜

矩阵2.jpg‎ (18KB, MIME 类型: image/jpeg)

　　解：将还车概率看作设立汽车保修厂的损失值。令

　　 $B=\begin{bmatrix} 0.8 & \cdots & 0.2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0.6\end{bmatrix}$ 令, $P=\begin{Bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{Bmatrix}$ ,

　　 $E(A)=\begin{bmatrix} 0.8 & \cdots & 0.2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0.6\end{bmatrix}$ $P=\begin{Bmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} 0.40 \\ 0.13 \\ 0.43 \end{Bmatrix}$